教育事例紹介　数学

授業におけるIT技術の活用

１．はじめに

　授業においてIT技術を活用する方法としては大きく分けて授業で学生に配布するもの、たとえば資料や小テストの作成と授業内で教員が説明するためのもの、たとえばプレゼンテーション用に資料やデモンストレーションの作成があります。これらの資料を作成するためのソフトウェアとしては資料作成にMicrosoft Word、プレゼンテーション用にPowerPointを利用される方が大多数でしょう。
　しかし、数学などの理工系の授業では数式が多用されるためこれらのソフトウェアを用いて作成すると入力に手間がかかり、十分な資料を作成することができないという事態を引き起こします。
　筆者はこの問題を解決するために配布資料やプレゼンテーション資料はすべてKnuthが開発し、Lamport がその上に構築した文書作成システム　　
LATEX ^[1][2]を用いて作成しています。また、一連の作業を容易にするツールも開発して私情協の大会で報告してました^[5]。その後、『工科のための微分積分学入門　第３版』^[7]で数学の授業で使用しているデモンストレーション用のツールの作成方法についても報告しています。ここでは、これらの報告のその後の展開について述べます。

２．学生配布のための資料作成法とネットにおける公開

　近年のネットワークの普及を考えますと、各種の資料はネット上に置いておくことが考えられます。しかし、当初はネット上において学生の予習や復習に役立てようとしたところ授業中、学生が説明を聞かない、出席状況が悪くなったなどの悪影響が出たという理由でネット上での公開をやめたという話も聞くようになりました。筆者の授業は「微分積分学」や「オートマトンと言語理論」というような数学関係の授業が主です。これらの授業は次のように行っています。

• 前回の授業で小テストを行った場合には返却後、理解が足りないと思われる点を中心に解説します。
  
• その後、授業の前半は通常の授業を行います。必要に応じて授業を聞きながら記入できる用紙を配布します。
  
• 授業の回数の３分の２以上でそのときに行った授業の内容を中心とした少数の演習問題を学生に用紙を配布して行います。これは授業終了後に回収し、次回の授業までに添削して返却しています。
  
• このほかに、そのときの授業の復習を兼ねた復習問題も配布しています。演習問題を解いているときに理解が不足している学生にはこちらの問題を解くように指導しています。
  
• 演習問題と復習問題の解答は筆者の研究室のホームページ^[8]で公開しています。なお、演習問題の解答は授業があった日の午後５時以降にならないとダウンロードできないようになっています。

　これらの資料では筆者が開発したLATEX のマクロを用いて同じ体裁で解答つきと解答なしを同時に作成できます。また、公開のためのホームページやアップロードが容易になるような機能もあります。
　筆者はBlackboardのようなe-Learningをサポートするシステムを利用したこともありますが、資料をアップロードして公開の日時の設定などを個別に行わなければならない、同じ授業で複数の教材を表示することがうまくできないなどの理由から最近では利用していません。
　このようなシステムを利用しても筆者の授業では極端に受講者が減少したり、授業中がうるさくなったということは感じていません。最近ではGoogleが無料で提供しているGoogle Analytics^[4]というアクセスログを解析するコードをページやダウンロードするファイルに関する情報などを得ています。これにより学生がどのような利用方法をしているか分析が可能となります。

３．授業内におけるデモンストレーション用教材の開発

（1）一変数関数のグラフの作成
　微分積分学の授業で一変数の関数のグラフを描くときにはふつう導関数を用いて増減表を作成してその状況から概略の図を描くことがふつうに行われています。しかし、関数の値を細かく計算してそれらの点をつなぐことでも関数のグラフは求められます。
　筆者が微分積分学の教科書を高校の新課程にあわせて改定したとき^[7]、この本の図のほとんどをPostScript^[3]によるプログラムで作成しました（残りはLATEX のpicture環境を利用しました）。関数の不連続点は計算しないようにしました。ライブラリーを作成したので関数の表示範囲と定義を変えるだけで比較的簡単な操作でたくさんの図形を描くことができました。それらの図形のうちいくつかは見落としていたということに気がつきました。
　ひとつは連続だけれども微分できない関数の例としてよく引き合いに出される

という関数の│x│が大きくなるときの振る舞いです。この値が１に近づくことはすぐにはわかることですが意識していないと話題にも上りません（図１）。

　もうひとつはの関数のグラフがx = 0の近くで直線のように見えることです（図２）。これも原点でのテイラー展開を考えればわかることですがこんなにはっきりと直線のように見えるとは思いませんでした。

　一方で、関数の値の変化が少ないためにグラフで見ただけでは極値の場所がよくわからないという例もあります。
（2）インターラクテイブな教材
　授業では黒板に値の変化に合わせて図を描きながら説明をする場合があります。図がうまく描けなければプログラムで少しずつ説明をしながら表示する方法があります。これらのソフトウェアのソースを学生に公開して学生の勉強に役立てるためには無料のソフトウェアだけで開発する必要があります。この要望を満たすものとして筆者はWeb の規格を制定しているWorld Wide Web ConsortiumによるScalable Vector Graphics（SVG）を利用することにしました^[9]。SVG は次の特徴を持ちます。

• XML の文法に基づくベクトル方式の二次元グラフィックスです。したがって、ソースはすべて単純な文字列であり、テキストエディタがあれば誰でも作成することができます。
  
• SMIL に基づくアニメーションが定義されています。したがって、Flashと同様のアニメーションを簡単につけることができます。
  
• Inaterner Explorer（Adobe から提供されるSVG Viewerが必要）、Firefox、Operaなどのブラウザーを用いて図形が表示できます。
  
• Document Object Model（DOM）による要素の操作がJavaScript を通じて可能になっています。また、イベントモデルにも対応しています。これによりインターラクティブな教材の開発ができます。

図３　r = cos nθのグラフ

• どこかの営利団体が定めている規格ではないので自由に利用できます。

　これを利用して極座標のグラフr = cos nθを表示するもの（図３）や、二変数関数のグラフを表示するものを開発しています（図４）。

図４　二変数関数のグラフ